已知函数f(x^2+ax+b) 快一点

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/04 00:41:03
(1)若对任意的实数x,都有f(x)≥2x+a,求b的范围：
（2）当x∈[-1,1]时，f(x)的最大值为M，求证：M≥b+1
谢谢了

(1) 由题设，对任意的实数x，都有f(x)=x^2+ax+b≥2x+a，所以 x^2+(a-2)x+(b-a)≥0 恒成立，故判别式△=(a-2)^2-4(b-a)≤0，所以4b≥a^2+4, 故b的范围是b≥(a^2+4)/4。

(2) 令f'(x)=0，即2x+a=0,解得x=-a/2。由二次函数的性质，f(x)=x^2+ax+b在x∈[-1,1]时的最大值M对应的x点出现在x=-a/2（如果-a/2∈[-1,1]，也即a∈[-2,2]）和端点x=-1,x=1处，所以M≥f(1)且M≥f(-1)。
而f(-1)=1-a+b, f(1)=1+a+b, 故f(1)+f(-1)=2(1+b)，所以f(-1)和f(1)中一定一个数≥1+b，因此M≥b+1。